Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求

的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），解得.   

（Ⅱ）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅲ）綜上所述，.  

【解析】本題考查導數(shù)在求函數(shù)的最大值與最小值問題中的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．易錯點是分類不清導致致出錯，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用。

（1）由函數(shù)求解導數(shù)，由曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，能求出a的值．

（2）根據(jù)a的取值范圍進行分類討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

（3）對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價于在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．由此能求出a的取值范圍．

解：.  ………………2分

（Ⅰ），解得.                             ………3分

（Ⅱ）.                      ……5分

①當時，，，

在區(qū)間上，；在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.     ………6分

②當時，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.  …………7分

③當時，， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.  ………8分

④當時，，

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.   ………9分

（Ⅲ）由已知，在上有.               ………………10分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①當時，在上單調(diào)遞增，

故，

所以，，解得，故. ……………11分

②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故.

由可知，，，

所以，，，                        ………………13分

綜上所述，.                                     ………………14分