【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形且,側(cè)面底面,且側(cè)面是正三角形,中點(diǎn).

1)證明:平面;

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2

【解析】

(1)由側(cè)面是正三角形,可知,進(jìn)而可知底面,從而可得,再結(jié)合底面為矩形且,可得,從而可知,即,即可證明平面;

(2)過(guò)的平行線,顯然兩兩垂直,以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量,平面的法向量,設(shè)二面角的大小為,易知為鈍角,可得,求解即可.

1)證明:因?yàn)閭?cè)面是正三角形,的中點(diǎn),所以.

因?yàn)閭?cè)面底面,側(cè)面底面,所以底面,所以.

因?yàn)榈酌?/span>為矩形且,所以.

所以,則.

所以,即.

又因?yàn)?/span>,所以平面.

2)過(guò)的平行線,顯然兩兩垂直,以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè),則點(diǎn),,

所以,.

設(shè)平面的法向量為.

,得

,得平面的法向量為;

同理,設(shè)平面的法向量為.

,

,得平面的法向量為.

設(shè)二面角的大小為,易知為鈍角,則.

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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