Question

正三棱錐P-ABC的底面邊長為

2

a，側(cè)棱PA=a，則二面角P-AB-C的大小是

arccos

3

3

．

Answer 1

分析：取AB的中點為D，再連接PD，CD，由題意可得：PD⊥AB，CD⊥AB，可得∠PDC是二面角P-AB-C的平面角．結(jié)合題中的條件可得：在△PDC中，有PD=

2

2

a，CD=

6

2

a，PC=a，
進而結(jié)合余弦定理可得答案．

解答：解：取AB的中點為D，再連接PD，CD，
因為棱錐P-ABC為正三棱錐，即PA=PB，AC=BC，
所以PD⊥AB，CD⊥AB，
所以∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，即為所求角．
因為正三棱錐P-ABC的底面邊長為

2

a，側(cè)棱PA=a，
所以PD=

2

2

a，CD=

6

2

a，
在△PDC中，有PD=

2

2

a，CD=

6

2

a，PC=a，
所以由余弦定理可得：cos∠PDC=

3

3

，
所以二面角P-AB-C的大小是arccos

3

3

．
故答案為：arccos

3

3

．

點評：本題主要考查二面角的平面角，解決此類問題的步驟是：找角，證角，求角三步，其中根據(jù)二面角平面角的定義找角是解決問題的關(guān)鍵，此題屬于中檔題．