Question

如圖1，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，得四棱錐A-BCDE（如圖2）．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面體FDCE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、MB，可證明EF∥BM，從而證明EF∥平面ABC；（2）CE為三棱錐C-EFD的高．進(jìn)而求四面體FDCE的體積．

解答： 解：（1）證明：取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、MB．
∵F為AD的中點(diǎn)，
∴MF∥CD，且MF=

1

2

CD．
在折疊前，四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，
∴BE∥CD，且BE=

1

2

CD．
∴MF∥BE，且MF=BE．
∴四邊形BEFM為平行四邊形，
∴EF∥BM．又EF?平面ABC，BM?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．   
（2）在折疊前，四邊形ABCD為矩形，AD=2，AB=4，E為AB的中點(diǎn)，
∴△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2．
∴∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2

2

．
又∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=90°．
又∵平面ADE⊥平面BCDE，
平面ADE∩平面BCDE=DE，CE?平面BCDE，
∴CE⊥平面ADE，即CE為三棱錐C-EFD的高．
∵F為AD的中點(diǎn)，
∴S_△EFD=

1

2

×

1

2

×AD•AE=

1

4

×2×2=1．
∴四面體FDCE的體積V=

1

3

×S_△EFD•CE=

1

3

×1×2

2

=

2 2

3

．

點(diǎn)評：本題需要分析作出輔助線，構(gòu)造平行，注意一條在平面內(nèi)，另一條在平面外，用線面平行判定定理證明線面平行，求體積要選擇底面，同時兼顧高，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的．