Question

(本題滿分16分)

設(shè)函數(shù).

（1）若=1時(shí)，函數(shù)取最小值，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式都成立.

Answer 1

（1）- 4.（2）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求開區(qū)間函數(shù)最值，先從導(dǎo)函數(shù)出發(fā)，探求極值點(diǎn)即為最值點(diǎn)，最后需列表驗(yàn)證：由得（2）函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)， ≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立. 即2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立或2x2 +2x+b≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立，利用變量分離及函數(shù)最值可得：實(shí)數(shù)b的取值范圍是.（3）證明和項(xiàng)不等式，關(guān)鍵分析出和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系：即證當(dāng)時(shí),有f(x) ＜x3.這可利用導(dǎo)數(shù)給予證明

試題解析：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定義域?yàn)? - 1，+ ∞),

對(duì)x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函數(shù)f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,

解得b= - 4. 經(jīng)檢驗(yàn)，列表（略），合題意；

（2）∵又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，

∴ ≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若 ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,

即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥;

若≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，

因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上沒有最小值，∴不存在實(shí)數(shù)b使f(x) ≤0恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

（3）當(dāng)b= - 1時(shí)，函數(shù)f(x) = x2 - ln(x+1)，令函數(shù)h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，

則h/(x) = - 3x2 +2x - ，

∴當(dāng)時(shí)，h/(x)＜0所以函數(shù)h(x)在上是單調(diào)遞減.

又h(0)=0，∴當(dāng)時(shí)，恒有h(x) ＜h(0)=0,即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.

故當(dāng)時(shí),有f(x) ＜x3..

∵取則有

∴,故結(jié)論成立。

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)