Question

函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.

(1)求f(0)的值；

（2）當(dāng)f(x)+2＜log_ax,x∈(0,)恒成立時，求a的取值范圍.

Answer 1

解：

（1）由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x,令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2,又因?yàn)?I >f(1)=0,所以f(0)=-2.

(2)由（1）知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x，因?yàn)?I >x∈(0,),所以f(x)+2∈(0,).

要使x∈(0,)時，f(x)+2＜log_ax恒成立，顯然當(dāng)a＞1時不可能，所以解得≤a＜1.

綠色通道：

全稱命題真，意味著對限定集合中的每一個元素都能具有某性質(zhì)，使所給語句真.因此，當(dāng)給出限定集合中的任一個特殊的元素時，自然應(yīng)導(dǎo)出“這個特殊元素具有這個性質(zhì)”（這類似于“代入”思想）.例如，由于“a、b∈R,(a+b)·(a²-ab+b²)=a³+b³”真，因此，當(dāng)a=3,b=5時，(3+5)(9-15+25)=3³+5³自然是正確的.又如，該題已知條件f(x)對一切實(shí)數(shù)x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，而x=1∈R,y=0∈R,所以有f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1，即f(1)-f(0)=2.

以上思想要注意準(zhǔn)確理解并運(yùn)用.