設函數(shù)，且函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：當a=-3時，對?x1，x2∈[1，2]，都有．
【答案】分析：（I）求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)在x=1處的值為0，列出方程求出a，b的關系．
（II）求出f（x）的導函數(shù)，通過對導函數(shù)的二次項系數(shù)的符號的討論及導函數(shù)的兩個根大小的討論，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（III）通過（II）得到f（x）當a=3時，函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）在[1，2]上的最大值及最小值，不等式得證．
解答：解：（Ⅰ），
f'（x）=ax2-x+b，
∴f'（1）=a-1+b=0，
∴b=1-a．
（Ⅱ）f'（x）=ax2-x+1-a=（x-1）[ax-（1-a）]．
∵，
（1）當a=0時，f'（x）=1-x，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當a≠0時，，
若，則，
由f'（x）＞0得，
∴或x＜1；
由f'（x）＜0得；
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1）和，遞減區(qū)間為．
若a＜0，則，
由f'（x）＞0得，
∴．
由f'（x）＜0得x＞1或，
∴f（x）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和（1，+∞）．
綜上所述，當時，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1）和，遞減區(qū)間為；
當a=0時，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和（1，+∞）．
（Ⅲ）當a=-3時，，
由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在x∈[1，2]為減函數(shù)，
∴x∈[1，2]，，f（x）min=f（2）=-1，
∴對?x1，x2∈[1，2]，，
即．
點評：函數(shù)在切點處的導數(shù)值是曲線的切線斜率；求函數(shù)的單調(diào)性，一般利用導函數(shù)的符號與單調(diào)性的關系，當導數(shù)大于0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當導數(shù)小于0時，函數(shù)單調(diào)遞減；含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，一般需要討論．
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（2013•懷化三模）設函數(shù)f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=aln(x-1)，其中a≠0．
（Ⅰ）若函數(shù)y=g（x）圖象恒過定點P，且點P關于直線x=
3
2
的對稱點在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x+1），討論F（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設G(x)=
f(x)，x≤2
g(x)，x＞2
，曲線y=G（x）上是否存在兩點P、Q，使△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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設函數(shù)數(shù)學公式，且函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當數(shù)學公式時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：當a=-3時，對?x1，x2∈[1，2]，都有數(shù)學公式．

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設函數(shù)，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則g（-2）=（ ）
A．6
B．-6
C．2
D．-2

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