Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)（n∈N^*）．
（1）設(shè)bn=

1+24an

，求證：{b_n-3}成等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1）通過已知的關(guān)系式，推出b_n+1與b_n的關(guān)系，然后證明{b_n-3}成等比數(shù)列；
（2）利用（1）求出b_n，的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

解答：解：（1）由bn=

1+24an

，得an=

b 2 n -1

24

，
代入an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)，
得

b 2 n+1 -1

24

=

1

16

(1+4×

b 2 n -1

24

+bn)⇒4

b

2 n+1

=(bn+3)2，
∴2b_n+1=b_n+3．…（5分）
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，又b1=

1+24×1

=5，則b₁-3=2≠0．…（7分）
∴{b_n-3}是以2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．…（8分）
（2）由（1）得bn-3=

1

2n-2

，∴bn=

1

2n-2

+3，…（10分）
則an=

b 2 n -1

24

=

2

3

×

1

4n

+

1

2n+2

+

1

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列特征的判斷，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．