Question

已知函數(shù)，（）

（Ⅰ）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，令，()，()為曲線上的兩動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）實(shí)數(shù)的取值范圍為；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有兩個不相等實(shí)數(shù)根，利用求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)分，，討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅲ）當(dāng)且時(shí)，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．則且．不妨設(shè)．故，則．，該方程有解．下面分，，討論，得方程總有解．最后下結(jié)論，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．

試題解析：（Ⅰ），若存在極值點(diǎn)，則有兩個不相等實(shí)數(shù)根．所以，                                   2分

解得                                                    3分

(Ⅱ)                                          4分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；           5分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．7分．

（Ⅲ） 當(dāng)且時(shí)，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．則且．      8分

不妨設(shè)．故，則．

，該方程有解          9分

當(dāng)時(shí)，，代入方程得

即，而此方程無實(shí)數(shù)解；              10分

當(dāng)時(shí)，則；                    11分

當(dāng)時(shí)，，代入方程得

即，                          12分

設(shè)，則在上恒成立．

∴在上單調(diào)遞增，從而，則值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041004183334486146/SYS201404100420411573816572_DA.files/image045.png">．

∴當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程有解．               13分

綜上所述，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．         14分．

考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值；2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3．利用導(dǎo)數(shù)解決存在性問題．