拋物線y2=4x的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為長(zhǎng)為m和n的兩部分,則m與n關(guān)系為


  1. A.
    m+n=4
  2. B.
    m•n=4
  3. C.
    m+n=m•n
  4. D.
    m+n=2m•n
C
分析:假設(shè)直線斜率存在,則可設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y可求得x1+x2,再根據(jù)拋物線的定義可求得m+n和mn,進(jìn)而可求得 +==.再看當(dāng)斜率不存在時(shí),也符合.綜合可推斷 ,然后根據(jù)p=2,即可得出結(jié)論.
解答:拋物線y2=2Px①設(shè)AB:y=k(x-),直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得
得k2x2-(k2p+2p)x+=0.
∴x1+x2=
又由拋物線定義可得
m+n=x1+x2+p==,
m•n=(x1+)(x2+)=
+==
②若k不存在,則AB方程為x=-,顯然符合本題.
綜合①②有
∵p=2
,即m+n=m•n
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系.當(dāng)遇到拋物線焦點(diǎn)弦問題時(shí),常根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,把韋達(dá)定理和拋物線定義相結(jié)合解決問題.
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