Question

如圖，已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，E是AB的中點(diǎn)，AB=kAA₁，其中k為非零實(shí)數(shù)，
（1）求證：A₁E∥平面PBC；
（2）當(dāng)k=

2

時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

分析：依題意，設(shè)此棱柱的高AA₁=2，則AB=2k，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)：（1）取BC中點(diǎn)F，得

PF

=

A1E

，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）求平面PBC的法向量，利用向量夾角公式計(jì)算

PA

與法向量夾角的余弦值，其絕對值即為線面角的正弦值；（3）利用重心坐標(biāo)公式計(jì)算三角形PBC重心的坐標(biāo)，可知若O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心，當(dāng)且僅當(dāng)

OM

•

PB

=0，列方程即可解得k值

解答：解：設(shè)此棱柱的高AA₁=2，則AB=2k，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：
則P（0，0，2），O（0，0，0），B（k，k，0），C（-k，k，0），A₁（k，-k，2），A（k，-k，0），
E（k，0，0）
∴

BC

=（-2k，0，0），

PB

=（k，k，-2），

A1E

=（0，k，-2），

PA

=（k，-k，-2）
（1）取BC中點(diǎn)F（0，k，0）
則

PF

=（0，k，-2）
∴

PF

=

A1E

∴A₁E∥PF，PF?面PBC，A₁E?面PBC
∴A₁E∥平面PBC
（2）當(dāng)k=

2

時(shí)，∴

BC

=（-2

2

，0，0），

PB

=（

2

，

2

，-2），

PA

=（

2

，-

2

，-2）
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z）
則

n • BC =-2 2 x=0 n • PB = 2 x+ 2 y-2z=0

∴取

n

=（0，

2

，1）
∴cos＜

PA

，

n

＞=

PA • n

| PA |×| n |

=

0-2-2

2+2+4 0+2+1

=-

2

6

=-

6

3

設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ=

6

3

∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

6

3

（3）設(shè)△PBC的重心坐標(biāo)為M（x，y，z），則
x=

0+k-k

3

=0，y=

0+k+k

3

=

2k

3

，z=

2+0+0

3

=

2

3

∴M（0，

2k

3

，

2

3

）
∴

OM

=（0，

2k

3

，

2

3

）
且

OM

•

BC

=0，即OM⊥BC
若OM⊥平面PBC，
則

OM

•

PB

=

2k

3

×k+

2

3

×(-2)=0
解得k=±

2

∴k=±

2

時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心

點(diǎn)評：本題綜合考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，利用空間向量和空間直角坐標(biāo)系求空間直線與平面所成的角的方法