Question

如圖，長方形框架ABCD-A′B′C′D′，三邊AB、AD、AA′的長分別為6、8、3.6，AE與底面的對角線B′D′垂直于E．
（1）證明A′E⊥B′D′；
（2）求AE的長．

Answer 1

分析：（1）先由AA'⊥平面A'B'C'D'，可轉(zhuǎn)化為AA'⊥B'D'，又AE⊥B'D'，由線面垂直的判斷定理可得B'D'⊥平面AA'E，得證．
（2）先由等面積法A'B'•A'D'=A'E•B'D'求得A'E，再由勾股定理求得AE．

解答：（1）證明：AA'⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．
又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，
因此B'D'⊥A'E
（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面積的2倍）
∴6×8=A'E×

62+82

，
∴A'E=4.8
∴AE=

3.62+4.82

=6．

點評：本題主要考查長方體的結構特征，主要涉及了線線，線面，面面垂直的關系，以及基本量的關系．屬中檔題．