Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)s_n．

Answer 1

分析 （1）等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)，有等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；
（2）把（1）中求得的結(jié)果代入b_n=na_n，求出b_n，利用錯(cuò)位相減法求出T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意知：2（a₃+2）=a₂+a₄，
∴q³-2q²+q-2=0，即（q-2）（q²+1）=0．
∴q=2，即a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 考查等比數(shù)列求通項(xiàng)公式和等差、等比中項(xiàng)的概念及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和S_n，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．