Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線與A、B兩點(diǎn)，若|BF|=

3

2

，|AF|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線方程求得p和F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)|BF|求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得其縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理求得x_A+x_B，進(jìn)而求得|AB|，最后利用|AB|-|BF|求得答案．

解答： 解：依題意2p=4，
∴p=2，F(xiàn)坐標(biāo)為（1，0），
∵點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離與|BF|相等，即為

3

2

，
∴x_B=

3

2

-1=

1

2

，
∴y_B=±

2

當(dāng)點(diǎn)B在y軸上方時(shí)，y_B=

2

∴直線AB的方程為

x-1

y

=

1- 1 2

2 -0

，即y=-2

2

x+2

2

，與拋物線方程聯(lián)立得，
2x²-5x+2=0，
∴x_A+x_B=

5

2

，
∴|AB|=x_A+x_B+p=

5

2

+2=

9

2

∴|AF|=|AB|-|BF|=

9

2

-

3

2

=3
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線簡(jiǎn)單性質(zhì)．活用圓錐曲線的定義是解決圓錐曲線最基本的方法．到焦點(diǎn)的距離，叫焦半徑．到焦點(diǎn)的距離常轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線的距離求解．