定義在（0，+∞）上的函數(shù)f(x)=px
1
p
-x(p∈Q，且p＞1)．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；（2）對于任意正實數(shù)a、b，設(shè)
1
p
+
1
q
=1，證明：ab≥
ap
p
+
bq
q
．
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x
1
p
-1-1，從而可確定函數(shù)在（0，1）上單調(diào)增，在（1，+∞）上單調(diào)減，從而函數(shù)在x=1時，取得最大值，即可求解；
（2）利用（1）中的最大值可得不等式px
1
p
-x-p+1≤0．設(shè)x=
ap
bq
，代入不等式，再利用
1
p
+
1
q
=1，即可證得．
解答：解：（1）f′(x)=x
1
p
-1-1．∵
1
p
-1＜0，∴由f'（x）=0，得x=1．
當(dāng)x變化時，f'（x）、f（x）的變化如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 -
f（x） ↗ 極大 ↘
又f（1）=p-1，所以f（x）≤f（1），即f（x）的最大值為p-1．
（2）由（1）得px
1
p
-x-p+1≤0．
設(shè)x=
ap
bq
，則p•
a
b
q
p
-
ap
bq
-p+1≤0，即
a
b
q
p
-
1
p
•
ap
bq
-1+
1
p
≤0，
∴
a
b
q
p
-
1
p
•
ap
bq
≤1-
1
p
=
1
q
，
∴
a
b
q
p
≤
1
p
•
ap
bq
+
1
q

∴abq-
q
p
≤
ap
p
+
bq
q
，
將
1
p
+
1
q
=1代入，得ab≤
ap
p
+
bq
q
．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的最值，同時考查了不等式的證明，解題的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)論構(gòu)造不等式，利用換元法求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數(shù)列{an}中，a1+a2+…a8=（　�。�
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關(guān)于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當(dāng)x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
3π
4
對稱，當(dāng)x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設(shè)向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　　）

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同步練習(xí)冊答案