(理)已知函數(shù),P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是f(x)圖象上兩點.
(1)若x1+x2=1,求證:y1+y2為定值;
(2)設(shè),其中n∈N*且n≥2,求Tn關(guān)于n的解析式;
(3)對(2)中的Tn,設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,當n≥2時,an=4Tn+2,問是否存在角a,使不等式對一切n∈N*都成立?若存在,求出角α的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)題:y1=f(x1),y2=f(x2),將f(x1)和f(x2)用函數(shù)表達式代入,利用對數(shù)的運算法則將它們相加,再化簡可得y1+y2=log22=1(定值),問題得證;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可得:,因此可以將Tn按倒序的方法相加的排列,再將此式與原表達式相加,最后配成n-1對數(shù)的和,每一對數(shù)的和都等于1,因而可得
(3)將不等式的兩邊都乘以,可得左邊等于,在(2)的基礎(chǔ)上可得f(n)各項為正數(shù),因此用作商相除的方法探求其單調(diào)性.證到,可得f(n+1)<f(n),所以f(n)隨著n的增大而減。坏仁阶冃螢閒(1)<sinα對一切n∈N*恒成立,得到<sinα,因此可得角α的取值范圍.
解答:解:(1)當x1+x2=1時,=,所以y1+y2為定值1.…(4分)
(2)由(1)得,(k=1,2,…,n-1),…(6分)
所以,,
又 ,
于是2Tn=(n-1)×1,所以(n∈N*,n≥2).…(10分)
(3)由已知,an=2n,n∈N*.…(11分)
,得,
,則由題意可得f(n)>0,
于是
==<1
所以f(n+1)<f(n),即f(n)隨著n的增大而減。15分)
所以當n∈N*時,f(n)的最大值為,
若存在角α滿足要求,則必須.…(16分)
所以角α的取值范圍為,(k∈Z)…(18分)
點評:本題是一道綜合題,解題的過程中用到了倒序相加法求和、用作商的方法證明數(shù)列的單調(diào)性和證明不等式恒成立等等知識點,屬于難題.本題對函數(shù)與數(shù)列的一些高級處理有比較高的要求,考查的知識點與方法較多,綜合性較強.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理)已知點A(1,0),B(0,1)和互不相同的點P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,O為坐標原點,其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,P1是線段AB的中點,對于給定的公差不為零的an,都能找到唯一的一個bn,使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一個指數(shù)函數(shù)
 
(寫出函數(shù)的解析式)的圖象上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•嘉定區(qū)一模)(理)已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是f(x)圖象上兩點.
(1)若x1+x2=1,求證:y1+y2為定值;
(2)設(shè)Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求Tn關(guān)于n的解析式;
(3)對(2)中的Tn,設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,當n≥2時,an=4Tn+2,問是否存在角a,使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)
(1-
1
an
)<
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立?若存在,求出角α的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

(理)已知點A(1,0),B(0,1)和互不相同的點P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足,O為坐標原點,其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,P1是線段AB的中點,對于給定的公差不為零的an,都能找到唯一的一個bn,使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一個指數(shù)函數(shù)    (寫出函數(shù)的解析式)的圖象上.

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