Question

18．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，點(diǎn)D₁，F(xiàn)₁分別是A₁B₁，A₁C₁的中點(diǎn)，若BC=CA=2CC₁，則BD₁與AF₁所成的角是（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 取BC的中點(diǎn)D，連接D₁F₁，F(xiàn)₁D，AD，由D₁B∥D₁F，知∠DF₁A就是BD₁與AF₁所成角，由此能求出BD₁與AF₁所成的角．

解答 解：取BC的中點(diǎn)D，連接D₁F₁，F(xiàn)₁D，AD，∴D₁B∥DF₁，
∴∠DF₁A就是BD₁與AF₁所成角
設(shè)BC=CA=2CC₁=2，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，
點(diǎn)D₁，F(xiàn)₁分別是A₁B₁，A₁C₁的中點(diǎn)，
∴AD=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，AF₁=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
DF₁=BD₁=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{4+4}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在△DF₁A中，cos∠DF₁A=$\frac{3+2-5}{2×\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=0．
∴∠DF₁A=90°．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．