Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8，過(guò)D（1，0）且與圓C相切的動(dòng)圓圓心為P，
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)C的直線l₁交曲線E于Q，S兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線l₂交曲線E于R，T兩點(diǎn)，且l₁⊥l₂，垂足為W．（Q，S，R，T為不同的四個(gè)點(diǎn)）
①設(shè)W（x_°，y_°），證明：

x°2

2

+y°2＜1；
②求四邊形QRST的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為r，則|PC|=2

2

-r，|PD|=r，|PC|+|PD|=2

2

＞|CD|=2，由橢圓定義能求出點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）①由已知條件可知，垂足W在以CD為直徑的圓周上，由Q，S，R，T為不同的四個(gè)點(diǎn)，能夠證明

x°2

2

+y°2＜1．
②若l₁或l₂的斜率不存在，四邊形QRST的面積為2．若兩條直線的斜率存在，設(shè)l₁的斜率為k₁，則l₁的方程為y=k₁（x+1）

y=k1(x+1) x2 2 +y2=1

，得|QS|=2

2

k2+1

2k2+1

，同理得|RT|=2

2

k2+1

k2+2

，由此能求出四邊形QRST的面積取得最小值．

解答：（1）解：設(shè)動(dòng)圓半徑為r，
則|PC|=2

2

-r，|PD|=r，|PC|+|PD|=2

2

＞|CD|=2，
由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡E是橢圓，
其方程為

x2

2

+y2=1．（2分）
（2）①證明：由已知條件可知，垂足W在以CD為直徑的圓周上，
則有x°2+y°2=1，
又因Q，S，R，T為不同的四個(gè)點(diǎn)，

x°2

2

+y°2＜1．（4分）
②解：若l₁或l₂的斜率不存在，四邊形QRST的面積為2．（6分）
若兩條直線的斜率存在，設(shè)l₁的斜率為k₁，
則l₁的方程為y=k₁（x+1），
聯(lián)立

y=k1(x+1) x2 2 +y2=1

，
得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
則|QS|=2

2

k2+1

2k2+1

，（8分）
同理得|RT|=2

2

k2+1

k2+2

，
∴SQSRT=

1

2

|QS|•|RT|=4

(k2+1)2

(2k2+1)(k2+2)

≥4

(k2+1)2

9 4 (k2+1)2

=

16

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)2k²+1=k²+1，即k=±1時(shí)等號(hào)成立．（11分）
綜上所述，當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形QRST的面積取得最小值為

16

9

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查不等式的證明，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．