過雙曲線G：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為1的直線m，分別與兩漸近線交于B，C兩點，若|AB|=2|AC|，則雙曲線G的離心率為
10
或
10
3
10
或
10
3
．
分析：先根據(jù)條件求出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與漸近線方程分別求出點B，C的橫坐標，結合條件得出C為AB的中點求出b，a間的關系，進而求出雙曲線的離心率．
解答：解：由題得，雙曲線的右頂點A（a，0）
所以所作斜率為1的直線l：y=x-a，
若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B（x1，y1），C（x2，y2）．
聯(lián)立其中一條漸近線y=-
b
a
x，則
y=x-a
y=-
b
a
x
，
解得x2=
a2
a+b
①；
同理聯(lián)立
y=x-a
y=
b
a
x
，
解得x1=
a2
a-b
②；
又因為|AB|=2|AC|，
（i）當C是AB的中點時，則x2=
x 1+a
2
⇒2x2=x1+a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e=
c
a
=
a2+b2
a
=
10
；
（ii）當A為BC的中點時，則根據(jù)三角形相似可以得到
a-x2
x1-x2
=
1
3
，
∴x1+2x2=3a，
把①②代入整理得：a=3b，
∴e=
c
a
=
a2+b2
a
=
10
3
．
綜上所述，雙曲線G的離心率為
10
或
10
3
．
故答案為：
10
或
10
3
．
點評：本題考題雙曲線性質的綜合運用，解題過程中要注意由|AC|=|BC|得到C是A，B的中點這以結論的運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦點，A是其右頂點，過F2作x軸的垂線與雙曲線的一個交點為P，G是△PF1F2的重心，若
GA
•
F1F2
=0，則雙曲線的離心率是（　　）
A、2
B、
2
C、3
D、
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1、F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦點，A是其右頂點，過作x軸的垂線與雙曲線的一個交點為P，G是△PF1F2的重心，若
.
GA
•
.
F1F2
=0，則雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•宿州一模）已知斜率為1的直線l與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C的右焦點坐標為（3，0），則以雙曲線的焦點為焦點，過直線g：x-y+9=0上一點M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點M應在何處？并求出此時的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標原點．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且
OP1
•
OP2
=-
27
4
，2
PP1
+
PP2
=
0
，求雙曲線E的方程；
（Ⅲ）若過點Q（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且
MQ
=λ
QN
（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點G，使
F1F2
⊥(
GM
-λ
GN
)？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

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