Question

13．已知$\vec m$=（$\sqrt{3}$sinx，2cosx），$\vec n$=（2cosx，-cosx），函數f（x）=$\overrightarrow{m}$．$\overrightarrow{n}$-1
（1）求函數f（x）的最小正周期和對稱軸方程；
（2）設三角形ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，f（A）=0，求bc的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數量積得出f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2，根據三角函數的性質求解即可．
（2）2sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2=0．得出A=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理得出2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，bc=（2R）²sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）（0$＜B＜\frac{2π}{3}$），展開得出bc=$\frac{2}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{3}$，0$＜B＜\frac{2π}{3}$，根據三角函數的單調性，有界性求解即可．

解答 解：$\vec m$=（$\sqrt{3}$sinx，2cosx），$\vec n$=（2cosx，-cosx），函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1，
（1）∵函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-2=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2，
∴周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，由2x-$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，得對稱軸x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{3}$，k∈z，
（2）∵a=1，f（A）=0，
∴即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，2A-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵a=1，
∴$\frac{a}{sin\frac{π}{3}}$=2R，
即2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴化簡得出bc=$\frac{4}{3}$sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B），0$＜B＜\frac{2π}{3}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2B-$\frac{1}{3}$cos2B+$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{3}$，0$＜B＜\frac{2π}{3}$，
根據-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，得出$-\frac{1}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤1，
0＜$\frac{2}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{3}$≤1
即bc∈（0，1]．

點評 本題考察了平面向量的數量積的運用，三角函數的圖象性質，三角形的定理，屬于中檔題．