Question

9．設函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，則使得f（x）＞f（2x-1）成立的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （$-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{3}$，）$∪（\frac{1}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系，將不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1{+x}^{2}}$為偶函數(shù)，
且在x≥0時，f（x）=ln（1+x）-$\frac{1}{1{+x}^{2}}$，
導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{2x}{{（1{+x}^{2}）}^{2}}$＞0，
即有函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（2x-1）等價為f（|x|）＞f（|2x-1|），
即|x|＞|2x-1|，
平方得3x²-4x+1＜0，
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
所求x的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，1）．
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，運用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．