已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓C上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是橢圓上；異于點(diǎn)B的兩點(diǎn)，且PB⊥QB，求證直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)y軸上一定點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的半焦距為c，
則∵橢圓C上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12，離心率為
3
2
，
∴
2a=12
c
a
=
3
2
，解得
a=6
c=3
3
，
∴b2=a2-c2=9．
∴所求橢圓C的方程為：
x2
36
+
y2
9
=1．…（4分）
（Ⅱ）顯然直線(xiàn)PQ的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=kx+b
聯(lián)立方程組
y=kx+b
x2
36
+
y2
9
=1
，消去y整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-36=0．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-
8kb
4k2+1
，x1x2=
4b2-36
4k2+1
．
∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=
2b
4k2+1
，y1y2=
b2-36k2
4k2+1
…（8分）
∵PB⊥QB，且
BP
=（x1，y1-3），
BQ
=（x2，y2-3），
∴
BP
•
BQ
=x1x2+（y1-3）（y2-3）=0，
∴
4b2-36
4k2+1
+
b2-36k2
4k2+1
-3•
2b
4k2+1
+9=0
∴5b2-6b-27=0．
解得b=-
9
5
或b=3（舍去）
∴直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)y軸上一定點(diǎn)（0，-
9
5
）．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y2=2
5
x的焦點(diǎn)是雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，
3
)，又知直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實(shí)數(shù)k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A（x，y）到點(diǎn)F1（-1，0）與點(diǎn)F2（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點(diǎn)A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為
1
2
的直線(xiàn)l與軌跡M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，
3
2
)為軌跡M上一點(diǎn)，記直線(xiàn)PC的斜率為k1，直線(xiàn)PD的斜率為k2，試問(wèn)：k1+k2是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF垂直的直線(xiàn)分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線(xiàn)l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知一條曲線(xiàn)C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D（2，-1），求直線(xiàn)l的一般式方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，
2
)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比為
2
：1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線(xiàn)PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A，B．求證：直線(xiàn)AB的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線(xiàn)C1：y2=-4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，且2
DF2
=
F2E
，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，求直線(xiàn)GD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓C：（x+1）2+y2=16上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)M是DN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段CN上，且
MP
•
DN
=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P表示的曲線(xiàn)E的方程；
（Ⅱ）若曲線(xiàn)E與x軸的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1•k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
1
2
，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)且
AM
•
AN
=0，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得S△FMN=λS△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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