【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)(
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))恰有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是
;(2)
.
【解析】
(1)先根據(jù)題意求得函數(shù)的定義域,再對(duì)函數(shù)
求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)先將函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程
在
上恰有一解,然后換元,構(gòu)造函數(shù),利用分類討論思想進(jìn)行求解,也可分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合即可求解.
(1)由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,則
,
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
,單調(diào)遞減區(qū)間是
.
(2)解法1、由函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程
在
上恰有一解,即方程
在
上恰有一解,
令,易知
在
上單調(diào)遞增,
且當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,所以
,
所以方程在
上恰有一解,
記,則
.
①當(dāng)時(shí),
,所以函數(shù)
單調(diào)遞增,
又當(dāng)時(shí),
,且
,
所以當(dāng)時(shí),方程
在
上恰有一解,滿足題意.
②當(dāng)時(shí),方程
在
上恰有一解,滿足題意.
③當(dāng)時(shí),由
,得
,
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減.
又當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,
所以當(dāng),即
時(shí),方程
在
上恰有一解.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為
.
解法2、 函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程
在
上恰有一解,即方程
在
上恰有一解.
令,易知
在
上單調(diào)遞增,
且當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,所以
,
所以方程在
上恰有一解,
即方程在
上恰有一解.
令,則
,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
又當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,且當(dāng)
時(shí),
,
,
所以作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示,
數(shù)形結(jié)合可知,或
.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓
上一點(diǎn),過點(diǎn)
作
軸的垂線交
軸于點(diǎn)
,點(diǎn)
滿足
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)為直線
上一點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),且
,求
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)),以
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
,點(diǎn)
是曲線
上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)
在
的延長(zhǎng)線上,且
,點(diǎn)
的軌跡為
.
(1)求直線及曲線
的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線與直線
交于點(diǎn)
,與曲線
交于點(diǎn)
(與原點(diǎn)不重合),求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且
的最小值為
.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)
有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)
處的切線方程為
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)
,
.
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,
底面
,
,
,
,
是
上一點(diǎn),且
.
(1)求證:平面
;
(2)是
的中點(diǎn),若二面角
的平面角的正切值為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)法定勞動(dòng)年齡是周歲至退休年齡(退休年齡一般指男
周歲,女干部身份
周歲,女工人
周歲).為更好了解我國(guó)勞動(dòng)年齡人口變化情況,有關(guān)專家統(tǒng)計(jì)了
年我國(guó)勞動(dòng)年齡人口和
周歲人口數(shù)量(含預(yù)測(cè)),得到下表:
其中年勞動(dòng)年齡人口是
億人,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.年勞動(dòng)年齡人口比
年減少了
萬人以上
B.這
年
周歲人口數(shù)的平均數(shù)是
億
C.年,
周歲人口數(shù)每年的減少率都小于同年勞動(dòng)人口每年的減少率
D.年這
年
周歲人口數(shù)的方差小于這
年勞動(dòng)人口數(shù)的方差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的值
(2)若對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
(1)若,求
的最小值;
(2)記f(x)的圖象在處的切線的縱截距為
,求
的極值;
(3)若有2個(gè)零點(diǎn)
,求證:
.
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