Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）對應(yīng)曲線上平行于x軸的所有切線的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)g(x)=

f(x)

x

-lnx(x＞

1

2

)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值等于0求出對應(yīng)的，并求出對應(yīng)點的坐標，即可得到切線方程．
（II）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)大于等于0的區(qū)間即可得到其單調(diào)遞增區(qū)間，注意是在定義域內(nèi)找增減區(qū)間，要避免出錯．

解答：解：（I）若a=1，則f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1．
令f′（x）=0⇒3x²+2x-1=0⇒x=-1或x=

1

3

．
把x=-1代入f（x）=x³+x²-x得：f（-1）=1．所以切線方程為：y-1=0×（x+1）⇒y-1=0；
把x=

1

3

代入f（x）=x³+x²-x得：f（

1

3

）=-

5

27

．所以切線方程為：y-

5

27

=0×（x-

1

3

）⇒y-

5

27

=0．
（II）：由題得：x＞

1

2

∵g(x)=

f(x)

x

-lnx=ax²+x-a-lnx；
∴g′（x）=2ax+1-

1

x

=

2ax2+x-1

x

；
所以：g′（x）≥0⇒

2ax2+x-1

x

≥0⇒2ax²+x-1≥0．
①當(dāng)a=0時，2ax²+x-1=x-1≥0⇒x≥1，此時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），
②當(dāng)a≤-

1

8

，2ax²+x-1≤0恒成立，此時，函數(shù)g（x）無單調(diào)增區(qū)間，
③當(dāng)a＞-

1

8

且a＜0時，2ax²+x-1≥0⇒

-1- 1+8a

4a

≤x≤

-1+ 1+8a

4a

＜

1

2

，函數(shù)g（x）無單調(diào)區(qū)間
④當(dāng)1≥a＞0時，2ax²+x-1≥0⇒

-1+ 1+8a

4a

≤

1

2

≤x，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[

1

2

，+∞），
⑤1＜a時，2ax²+x-1≥0⇒

1

2

≤

-1+ 1+8a

4a

≤x，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[

-1+ 1+8a

4a

，+∞）；
綜合可得當(dāng)a＜0時，函數(shù)g（x）無單調(diào)增區(qū)間，
當(dāng)a=0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），
當(dāng)1≥a＞0時函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[

1

2

，+∞）．
1＜a時，函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[

-1+ 1+8a

4a

，+∞）；

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．切線斜率的求法是先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，切點處的導(dǎo)函數(shù)值極為切線斜率，還考查了對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查計算能力，屬于中檔題．