已知正項數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=3，a2=6，{bn}是等差數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都有bn，
an
，bn+1成等比數(shù)列．
（ I）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)Sn=
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
，試比較2Sn與2-
b
2
n+1
an+1
的大�。�
分析：（I）利用正項數(shù)列{an}，{bn}滿足對任意正整數(shù)n，都有bn，
an
，bn+1成等比數(shù)列，可得an=bnbn+1，結(jié)合{bn}是等差數(shù)列，可求數(shù)列的公差，從而可求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列{an}的通項，利用裂項法求和，再作出比較，可得結(jié)論．
解答：解：（I）∵正項數(shù)列{an}，{bn}滿足對任意正整數(shù)n，都有bn，
an
，bn+1成等比數(shù)列，
∴an=bnbn+1，
∵a1=3，a2=6，∴b1b2=3，b2b3=6
∵{bn}是等差數(shù)列，∴b1+b3=2b2，∴b1=
2
，b2=
3
2
2

∴bn=
2
2
(n+1)；
（Ⅱ）an=bnbn+1=
(n+1)(n+2)
2
，則
1
an
=2（
1
n+1
-
1
n+2
）
∴Sn=2[（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
n+1
-
1
n+2
）]=1-
2
n+2

∴2Sn=2-
4
n+2

∵2-
b
2
n+1
an+1
=2-
n+2
n+3

∴2Sn-（2-
b
2
n+1
an+1
）=
n2-8
(n+2)(n+3)

∴當(dāng)n=1，2時，2Sn＜2-
b
2
n+1
an+1
；當(dāng)n≥3時，2Sn＞2-
b
2
n+1
an+1
．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查大小比較，考查學(xué)生的計算能力，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　　）
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列an中，a1=2，點(diǎn)(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對?n∈N+恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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