Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).

（1）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程，并求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

（2）過點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，且點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn).

（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（ii）求與面積之和的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1； （2）（i），（ii）.

【解析】

（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求得拋物線的方程為，再結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解；

（2）（i）設(shè)過點(diǎn)的直線，聯(lián)立方程組，求得，再由直線的方程，，即可求解的坐標(biāo)；

（ii）利用三角形的面積公式，求得與面積之和的表示，結(jié)合基本不等式，即可求解.

（1）由題意，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，即，

解得，所以拋物線的方程為，

拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1.

（2）（i）設(shè)過點(diǎn)的直線，

代入拋物線的方程，可得，

設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)，且，

則，

所以直線的方程為，

即，即，

令，可得，

所以，所以，所以，

（ii）如圖所示，可得，

，

所以與面積之和為：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，

所以與面積之和的最小值為.