Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，恒有f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，利用最小值為-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2-3x+lnx，f(x)=2x-3+

1

x

．…（2分）
因?yàn)閒'（1）=0，f（1）=-2．
所以切線方程是y=-2．…（4分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=2ax-（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞）．…（5分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

(x＞0)
令f′（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

．…（7分）
當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
當(dāng)1＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合題意；
當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意…（10分）
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．…（10分）
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

當(dāng)a=0時(shí)，g′(x)=

1

x

＞0，此時(shí)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（11分）
當(dāng)a≠0時(shí)，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因?yàn)閤∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
則需要a＞0，…（12分）
對(duì)于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過(guò)定點(diǎn)（0，1），對(duì)稱軸x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．綜上0≤a≤8．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．