Question

設F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右兩個焦點，若橢圓C上的點兩點的距離之和等于4．
（1）求出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過點P（0，）的直線與橢圓交于兩點M、N，若OM⊥ON，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，可求a，利用點在橢圓上，可求b，從而求出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設直線MN方程為y=kx+，代入橢圓C的方程，利用韋達定理即向量知識，建立方程，即可求得直線MN的方程．
解答：解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，
由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2，
又點在橢圓上，∴，∴b²=3，∴c²=1，
所以橢圓C的方程為．…（6分）
（2）直線MN不與x軸垂直，設直線MN方程為y=kx+，
代入橢圓C的方程得（3+4k²）x²+12kx-3=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-，且△＞0成立．
又=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（ kx₁+）（kx₂+）=--+=0，
∴16k²=5，k=±，
∴MN方程為y=±x+…（14分）
點評：本題考查解析幾何的基本思想方法，要求學生能正確分析問題，尋找較好的解題方向，同時兼顧考查算理和邏輯的能力，數(shù)形結合能力．