Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=5，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）．
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n+1，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，建立方程組即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用分組求和法或構(gòu)造法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n

解答： 解：（Ⅰ）由S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）
得 S_n=2S_n-1+（n-1）+5（n∈N^*，n≥2）
兩式相減得 a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
即  b_n+1=2b_n（n∈N^*，n≥2），
又a₂=S₂-S₁=S₁+1+5=a₁+6=11
∴b₂=a₂+1=12，b₁=a₁+1=6
∴b₂=2b₁．
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列
∴bn=6•2n-1=3•2n．
（Ⅱ）法一
由（Ⅰ）知an=3•2n-1，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=3×2+3×2²+…+3•2ⁿ-n=3×

2(2n-1)

2-1

-n=6•2ⁿ-n-6=3•2ⁿ⁺¹-n-6．  
（Ⅱ）法二
由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）①
設(shè)S_n+1+c（n+1）+d=2（S_n+cn+d）
整理得  S_n+1=2S_n+cn+d-c②
對(duì)照①、②，得  c=1，d=6，
即①等價(jià)于 S_n+1+（n+1）+6=2（S_n+n+6）
∴數(shù)列{S_n+n+6}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為S₁+1+6=a₁+1+6=12，公比為q=2
∴Sn+n+6=12•2n-1=3•2n+1
∴Sn=3•2n+1-n-6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．