Question

下面有五個命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是4π；
②在△ABC中，若“A＞B”，則“sinA＞sinB”；
③若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
④把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
⑤函數(shù)y=sin（x-

π

2

）在（0，π）上是減函數(shù)
其中正確命題的序號是

②③④

答案．

Answer 1

分析：①利用誘導(dǎo)公式可將y=sin⁴x-cos⁴x化為y=-cos2x，可求出其周期，從而可判斷出①的真假．
②在△ABC中，由A＞B，可得到cos

A+B

2

＞0，sin

A-B

2

＞0，再化sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，故可判斷出②真假．
③利用誘導(dǎo)公式得sinβ=cos（

π

2

-β），再利用余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，即可判斷出③的真假．
④利用平移變換的法則“對自變量x左加右減”可得平移后的表達(dá)式，進(jìn)而可判斷出．
⑤由已知0＜x＜π，可得-

π

2

＜x-

π

2

＜

π

2

，進(jìn)而可判斷出y=sin（x-

π

2

）在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)性，可判斷出⑤的真假．

解答：解：①∵y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=-cos2x，∴T=

2π

2

=π．∴函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是 π．故①假命題．
②在△ABC中，∵0＜B＜A＜π，∴0＜A+B＜π，0＜A-B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A+B

2

＜1，0＜sin

A-B

2

＜1，
∴sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

＞0，∴sinA＞sinB．故②正確．
③∵cosα＞sinβ，∴cosα＞cos（

π

2

-β），∵α、β是銳角，∴0＜α＜

π

2

，，0＜β＜

π

2

，∴0＜

π

2

-β＜

π

2

，
又∵y=cosx在區(qū)間[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，∴α＜

π

2

-β，∴α+β＜

π

2

，故③正確．
④把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到 y=3sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=3sin2x的圖象，故④正確．
⑤∵0＜x＜π，∴-

π

2

＜x-

π

2

＜

π

2

，∴y=sin（x-

π

2

）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增，故⑤是假命題．
綜上可知：正確命題的序號是②③④．
故答案是②③④．

點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是正確做好本題的關(guān)鍵．