Question

已知等差數列{a_n}和等比數列{b_n}，a₁=b₁=1且a₃+a₅+a₇=9，a₇是b₃和b₇的等比中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=2a_nb_n²，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，
由題意知：a₃+a₅+a₇=9，
∴3

a

5

=9，∴a5=3，d=

a5-a1

4

=

1

2

，
∴an=a1+(n-1)d=

n+1

2

(n∈N+)
a₇=4，∵a₇²=b₃•b₇=16，∴b₅²=b₃•b₇=16，∵b₅∈N₊，
∴b5=4，∴q4=

b5

b1

=4，∵q∈R+，∴q=

2

，
∴bn=b1•qn-1=2

n-1

2

(n∈N+)
（II）因為c_n=2a_n•b_n²=（n+1）•2^n-1
所以T_n=c₁+c₂++c_n=2+3•2+4•2²+…+（n+1）•2^n-1．（1）
2T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ．（2）
由（1）減（2），
得-Tn=2+2+22++2n-1-(n+1)•2n=1+

2n-1

2-1

-(n+1)•2n=-n•2n，
∴T_n=n•2ⁿ