Question

5．下列命題中：
①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²-2n+1，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
③銳角三角形的三邊長分別為3，4，a，則a的取值范圍是$\sqrt{7}$＜a＜5．
④若S_n=2-2a_n，則{a_n}是等比數(shù)列
真命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 ①△ABC中，利用正弦定理與三角形的邊角大小關(guān)系可得：A＞B?a＞b?sinA＞sinB，即可判斷出正誤；
②由S_n=n²-2n+1，可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-3，n≥2}\end{array}\right.$，即可判斷出正誤；
③若a是最大邊，則3²+4²＞a²，解得a；若4是最大邊，則3²+a²＞4²，解得a，即可判斷出正誤．
④由S_n=2-2a_n，可得a_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$，即可判斷出正誤．

解答 解：①△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB，正確；
②數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²-2n+1，可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-3，n≥2}\end{array}\right.$，因此數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．
③銳角三角形的三邊長分別為3，4，a，若a是最大邊，則3²+4²＞a²，解得a＜5；若4是最大邊，則3²+a²＞4²，解得$a＞\sqrt{7}$，則a的取值范圍是$\sqrt{7}$＜a＜5，正確．
④若S_n=2-2a_n，可得a_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$，可知首項與公比都為$\frac{2}{3}$，因此{a_n}是等比數(shù)列，正確．
真命題的序號是 ①③④．
故答案為：①③④

點評 本題考查了正弦定理、數(shù)列的前n項和公式與通項公式、三角形三邊大小關(guān)系、命題真假的判定方法，考查了推理能力，屬于中檔題．