Question

已知點(diǎn)在橢圓:上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),若, 求直線的方程;
（3）作直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

（1）. (2) 或； （3）或.

試題分析：（1）由題意知,在中, 可得.
設(shè)為圓的半徑,為橢圓的半焦距
由建立方程組，,解得:.
根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,有結(jié)合,解得.
(2)由題意知直線的斜率存在,故設(shè)直線方程為
設(shè),利用 ,求得代人橢圓方程求 .
（3）根據(jù): , 設(shè).
根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達(dá)定理得,則,
所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
注意討論，的情況，確定的表達(dá)式，求得實(shí)數(shù)的值.
方法比較明確，運(yùn)算繁瑣些；分類討論是易錯(cuò)之處.
試題解析：（1）由題意知,在中,
由得:
設(shè)為圓的半徑,為橢圓的半焦距
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041208558651.png" style="vertical-align:middle;" />所以
又,解得:,則點(diǎn)的坐標(biāo)為      2分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓：上,所以有
又,解得:
所求橢圓的方程為.        4分
(2)由(1)知橢圓的方程為 
由題意知直線的斜率存在,故設(shè)其斜率為,
則其方程為
設(shè),由于,所以有
         7分
又是橢圓上的一點(diǎn),則
解得
所以直線的方程為或         9分
（3）由題意知: :
由, 設(shè)
根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達(dá)定理得,則,
所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
(1)當(dāng)時(shí), 則有,線段垂直平分線為軸
于是
由,解得:         11分
(2) 當(dāng)時(shí), 則線段垂直平分線的方程為
因?yàn)辄c(diǎn)是線段垂直平分線的一點(diǎn)
令,得:
于是
由,解得:
代入,解得:
綜上, 滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或.        14分