Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=

1

2

，a_n=-2S_n•S_n-1 （n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；   
（Ⅱ）求S_n和a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式結(jié)合a_n=S_n-S_n-1可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，即可說明數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列求其通項公式，進(jìn)一步得到Sn=

1

2n

．然后由當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=-

1

2n(n-1)

求得數(shù)列的通項公式．

解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，①
∴S_n（1+2S_n-1）=S_n-1，由上式知若S_n-1≠0，則S_n≠0．
∵S₁=a₁≠0，由遞推關(guān)系知Sn≠0(n∈N*)，
∴由①式可得：當(dāng)n≥2時，

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
∴{

1

Sn

}是等差數(shù)列，其中首項為

1

S1

=

1

a1

=2，公差為2；
（Ⅱ）解：∵

1

Sn

=

1

S1

+2(n-1)=

1

a1

+2(n-1)，∴Sn=

1

2n

．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=-

1

2n(n-1)

，
當(dāng)n=1時，a1=S1=

1

2

不適合上式，
∴an=

1 2 ，(n=1，n∈N*) - 1 2n(n-1) ，(n≥2，n∈N*)

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，是中檔題．