Question

（12分）如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，F(xiàn)EAD，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=2，點G為AC的中點．

（Ⅰ）求證：EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求三棱錐B﹣AEG的體積．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點M，連FM，GM，要證EG∥平面ABF，只要證EG∥FM，可從證明四邊形GMFE為平行四邊形入手；

（Ⅱ）因為，在平面ADEF內(nèi)作EN⊥AD，垂足為N，可以證明EN⊥面ABCD，即EN為三棱錐E﹣ABG的高，再根據(jù)題設(shè)求出EN及三角形ABG的面積即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：取AB的中點M，連FM，GM，

∵G為對角線AC的中點，

∴GM∥AD，且GM=AD，

∵EF∥AD，

∴MG∥EF，且EF=GM，

∴四邊形GMFE為平行四邊形，

∴EG∥FM，

∴EG∥平面ABF．

（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足為N，

由平面ABCD⊥面AEFD，面ABCD∩面AEFD=AD，

∴EN⊥面ABCD，即EN為三棱錐E﹣ABG的高，

∵在△AEF中，AF=FB，∠AFE=60°，

∴△AEF是正三角形，

∴∠AEF=60°，

由EF∥AD，知∠EAD=60°，

∴EN=AEsin60°=，

MG=AD=EF=2，

∴S△ABG=×2×2=2，

∴三棱錐B﹣AEG的體積為：×2×=．

考點：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、空間幾何體的體積.