Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，作出圖形并寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(-

2

-1，2]的值域；
（Ⅲ）設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x|x-2|=

x2-2x，x≥2 -x2+2x，x＜2

，作出圖象即可寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x|x+2|=

x2+2x，x≥-2 -x2-2x，x＜-2

，可求得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(-

2

-1，2]的值域?yàn)閇-1，8]；
（Ⅲ）設(shè)a≠0，f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，須m＜

a

2

，n＞a．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x|x-2|=

x2-2x，x≥2 -x2+2x，x＜2

，作出圖象，

由圖可知，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x|x+2|=

x2+2x，x≥-2 -x2-2x，x＜-2

，

∵f（-1-

2

）=-(-1-

2

)2-2（-1-

2

）=-1，f（-1）=（-1）²+2×（-1）=-1，f（2）=4+4=8，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(-

2

-1，2]的值域?yàn)閇-1，8]；
（Ⅲ）∵a≠0，f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)：0和a，
若a＞0，在（-∞，

a

2

）上單調(diào)遞增，在（

a

2

，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
為使在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，必須0≤m＜

a

2

，n≤

1+ 2

2

a．
若a＜0，在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，

a

2

）上單調(diào)遞減，在（

a

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
為使在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，必須m≥

1+ 2

2

a，n≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，著重考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類(lèi)討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．