Question

函數(shù)，定義f（x）的第k階階梯函數(shù)，其中k∈N^*，f（x）的各階梯函數(shù)圖象的最高點P_k（a_k，b_k），最低點Q_k（c_k，d_k）．
（1）直接寫出不等式f（x）≤x的解；
（2）求證：所有的點P_k在某條直線L上．
（3）求證：點Q_k到（2）中的直線L的距離是一個定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）按分段函數(shù)分段標(biāo)準(zhǔn)討論x，然后解不等式f（x）≤x即可；
（2）先求出函數(shù)f_k（x）的解析式，然后研究函數(shù)f_k（x）的單調(diào)性，從而得到f（x）的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點P_k的坐標(biāo)，然后求出過P_kP_k+1這兩點的直線的斜率和過P_k+1P_k+2這兩點的直線的斜率，可證得所有的點P_k在某條直線L上．
（3）先求出求得最低點，利用點到直線L的距離公式求得結(jié)果為定值．
解答：解：（1）當(dāng)x∈[0，]時，故不等式f（x）=x+≤x，x無解；
當(dāng)x∈[，1]時，f（x）=2（1-x）≤x，解得x∈．
不等式f（x）≤x的解集為 ．---------（4分）
（2）由f（x）的第k階階梯函數(shù)的定義可得
，k∈N^*．----（6分）
且．
∴f（x）的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點為，-----（7分）
第k+1階階梯函數(shù)圖象的最高點為，
所以過P_kP_k+1這兩點的直線的斜率為．--------（8分）
同理可得過P_k+1P_k+2這兩點的直線的斜率也為．
所以f（x）的各階階梯函數(shù)圖象的最高點共線，且直線方程為，
即 2x+4y-5=0．----（10分）
（3）證明：同理求得最低點：，點Q_k到（2）中的直線L的距離為
．-----（12分）
點評：本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和運算求解的能力，屬于中檔題．