Question

（本小題滿分12分）已知雙曲線：的一條漸近線為，右焦點(diǎn)到直線的距離為．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）斜率為且在軸上的截距大于的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，已知，若，證明：過、、三點(diǎn)的圓與軸相切．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)雙曲線的方程，若焦點(diǎn)明確，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合條件用待定系數(shù)法求出的值，若不明確，需分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況討論；（2）解決直線和雙曲線的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（1）依題意有，

∵

∴

∴，

∴

∴曲線的方程為 6分

（2）設(shè)直線的方程為，則，，的中點(diǎn)為

由 得

∴，

∵，即

∴（舍）或

∴， 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∵

∴

∴過、、三點(diǎn)的圓以點(diǎn)為圓心，為直徑

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴

∵

∴過、、三點(diǎn)的圓與軸相切 12分

考點(diǎn)：1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、雙曲線的綜合問題.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：雙曲線的幾何性質(zhì) 試題屬性

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