Question

（本小題滿分12分）已知雙曲線：的一條漸近線為，右焦點到直線的距離為．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）斜率為且在軸上的截距大于的直線與曲線相交于、兩點，已知，若，證明：過、、三點的圓與軸相切．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）設雙曲線的方程，若焦點明確，設雙曲線的標準方程，結(jié)合條件用待定系數(shù)法求出的值，若不明確，需分焦點在軸和軸上兩種情況討論；（2）解決直線和雙曲線的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關系.第五步：根據(jù)題設條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（1）依題意有，

∵

∴

∴，

∴

∴曲線的方程為 6分

（2）設直線的方程為，則，，的中點為

由 得

∴，

∵，即

∴（舍）或

∴， 點的橫坐標為

∵

∴

∴過、、三點的圓以點為圓心，為直徑

∵點的橫坐標為

∴

∵

∴過、、三點的圓與軸相切 12分

考點：1、雙曲線的標準方程；2、雙曲線的綜合問題.

考點分析： 考點1：雙曲線的標準方程 考點2：雙曲線的幾何性質(zhì) 試題屬性

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