Question

8．已知函數(shù)f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0，a≠）為R上的奇函數(shù)，且f（1）=$\frac{3}{2}$
（1）試求函數(shù)f（x）的解析式并判斷其單調(diào)性（不要求證明）
（2）解不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0與f（1）=$\frac{3}{2}$聯(lián)立方程組解出函數(shù)的解析式f（x）=2^x-2^-x，然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性．
（2）綜合利用奇偶性和單調(diào)性去函數(shù)符號求解；
（3）當t∈[1，2]時，${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）$+m（${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，利用分離參數(shù)法可得m≥-（2^2t+1），根據(jù)t∈[1，2]，可得m的取值范圍是[-5，+∞）．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，得k-1=0，解得k=1，
則f（x）=a^x-a^-x，
又∵f（1）=$\frac{3}{2}$，即a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=-$\frac{1}{2}$（舍去）或a=2，
∴f（x）=2^x-2^-x，
函數(shù)y=2^x和y=-2^-x都是R上的增函數(shù)，則f（x）=2^x-2^-x為R上的增函數(shù)，
（2）不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0
移項得f（x²+2x）＞-f（x-4），
∵函數(shù)f（x）=2^x-2^-x在R上為奇函數(shù)，
∴f（x²+2x）＞f（4-x），
∵函數(shù)f（x）=2^x-2^-x在R上為增函數(shù)，
∴x²+2x＞4-x，
解之得x＞1，或x＜-4．
即不等式的解集為{x|x＞1，或x＜-4}．
（3）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0可化為${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）$+m（${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．
∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，
∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范圍是[-5，+∞）．

點評 本題考查解不等式，考查恒成立問題，根據(jù)條件先求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．，對應(yīng)恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)．