Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間并比較f（x）與f（1）的大小關系
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=-1時，，
解f'（x）＞0，得x∈（1，+∞）；解f'（x）＜0得x∈（0，1），
所以，f（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
可知f（x）_min=f（1），所以f（x）≥f（1）．
（2）∵，函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
∴，得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3，
∴，∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數(shù)，且g′（0）=-2，∴，
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，
所以有，，解得．
故m的取值范圍為（，-9）．
分析：（1）當a=-1時，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得單調區(qū)間，根據(jù)最值情況可比較f（x）與f（1）的大小關系；
（2）由函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，可求出a值，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）在區(qū)間（t，3）上總不單調，則g（x）在區(qū)間（t，3）內總存在極值點，由此可得到關于m的約束條件，解出即可．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力．