Question

（2013•牡丹江一模）已知P₁、P₂、…、P₂₀₁₃是拋物線y²=4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x₁、x₂、…、x₂₀₁₃，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若x₁+x₂+…+x₂₀₁₃=10，則|P₁F|+|P₂F|+…|P₂₀₁₃F|=

2023

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的定義得拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，因此求出拋物線的準(zhǔn)線方程，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得到本題答案．

解答：解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
∴根據(jù)拋物線的定義，P_i（i=1，2，3，…，2013）到焦點(diǎn)的距離等于P_i到準(zhǔn)線的距離，即|P_iF|=x_i+1，
可得|P₁F|+|P₂F|+…|P₂₀₁₃F|=（x₁+1）+（x₂+1）+…+（x₂₀₁₃+1）=（x₁+x₂+…+x₂₀₁₃）+2013，
∵x₁+x₂+…+x₂₀₁₃=10，
∴|P₁F|+|P₂F|+…|P₂₀₁₃F|=10+2013=2023．
故答案為：2023

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上2013個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，求它們到焦點(diǎn)的距離之和．著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．