Question

某中學食堂定期從糧店以每噸1500元的價格購買大米，每次購進大米需支付運輸費  100元．食堂每天需用大米l噸，貯存大米的費用為每噸每天2元（不滿一天按一天計），假  定食堂每次均在用完大米的當天購買．
（1）該食堂隔多少天購買一次大米，可使每天支付的總費用最少？
（2）糧店提出價格優(yōu)惠條件：一次購買量不少于20噸時，大米價格可享受九五折（即原價的95%），問食堂可否接受此優(yōu)惠條件？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)每n天購一次，即購n噸，則庫存總費用為2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．即可得到平均每天費用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500，利用基本不等式即可得出最小值．
（2）若接受優(yōu)惠，每m天購一次，即購m噸（m≥20），則平均每天費用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95．利用導數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出其最小值．

解答：解：（1）設(shè)每n天購一次，即購n噸，則庫存總費用為2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．
則平均每天費用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500=n+

100

n

+1501≥1521．當且僅當n=10時取等號．
∴該食堂隔10天購買一次大米，可使每天支付的總費用最少．
（2）若接受優(yōu)惠，每m天購一次，即購m噸（m≥20），則平均每天費用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95
=m+

100

m

+1426（m∈[20，+∞））．
令f（m）=m+

100

m

(m∈[20，+∞))．
則f′(m)=1-

100

m2

=

m2-100

m2

＞0，
故當m∈[20，+∞）時，函數(shù)f（m）單調(diào)遞增，
故當m=20時，（y₂）_min=1451＜1521．
∴食堂可接受此優(yōu)惠條件．

點評：正確審請題意，利用等差數(shù)列的前n項和公式得出表達式，熟練掌握基本不等式求最值和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．