Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=3x+4上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）令b_n=na_n（n∈N⁺），試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=3x+4上，得S_n=3a_n+4，又S_n+1=3a_n+1+4，兩式相減可得數(shù)列遞推式，根據(jù)遞推式可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，從而可求a_n；
（2）由（1）表示出b_n，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=3x+4上，
∴S_n=3a_n+4，S_n+1=3a_n+1+4，
兩式相減，得a_n+1=S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n，化簡(jiǎn)得2a_n+1=3a_n，
數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比q=

3

2

，
由S₁=a₁=3a₁+4，得a₁=-2，
故a_n=a₁q^n-1=-2(

3

2

)n-1（n∈N^*）．
（2）∵b_n=na_n=-2n(

3

2

)n-1（n∈N⁺），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=-2[1+2×

3

2

+3×(

3

2

)2+4×(

3

2

)3+…+（n-1）×(

3

2

)n-2+n×(

3

2

)n-1]，①

3

2

×Tn=-2[

3

2

+2×(

3

2

)2+3×(

3

2

)3+4×(

3

2

)4+…+(n-1)×(

3

2

)n-1+n×(

3

2

)n]，②
①-②得-

1

2

T_n=-2[1+

3

2

+(

3

2

)2+(

3

2

)3+…+(

3

2

)n-1-n×(

3

2

)n]，
T_n=4[1+

3

2

+(

3

2

)2+(

3

2

)3+…+(

3

2

)n-1-n×(

3

2

)n]
=4×

1-( 3 2 )n

1- 3 2

-4n×(

3

2

)n=4（2-n）•(

3

2

)n-8（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、等比數(shù)列的概念及數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．