Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，AA₁=AB=2，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠A₁AC=60°．
（1）證明：A₁B⊥AC；
（2）求二面角B-A₁C₁-C的余弦值；
（3）設點N是平面ACC₁A₁內的動點，求BN+B₁N的最小值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導出△A₁AC是正三角形，取AC中點D，連結A₁D、BD，能推導出AC⊥平面A₁BD，由此能夠證明A₁B⊥AC．
（2）由已知條件推導出∠BA₁D就是二面角B-A₁C₁-C的平面角，由此能求出二面角B-A₁C₁-C的余弦值；．
（3）以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BN+B₁N的最小值．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：∵AA₁=AB=2，△ABC是正三角形，
∴AC=AB=2，
∴AA₁=AC，
又∵∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC是正三角形，
取AC中點D，連結A₁D、BD，則A₁D⊥AC，BD⊥AC
又∵A₁D∩BD=D，A₁D?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，
∴AC⊥平面A₁BD，
又∵A₁B?平面A₁BD，
∴A₁B⊥AC．
（2）解：A₁C₁∥AC，由（1）知A₁B⊥AC，A₁D⊥AC，
∴A₁B⊥A₁C₁，A₁D⊥A₁C₁，
∴∠BA₁D就是二面角B-A₁C₁-C的平面角；
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
A₁D?平面ACC₁A₁，A₁D⊥AC，
∴A₁D⊥平面ABC．
∵BD?平面ABC，
∴A₁D⊥BD．，
在Rt△A1BD 中， BD=

3

 ， A1D=

3

 ， A1B=

BD2+A1D2

=

6

∴cos∠BA1D=

BD

A1B

=

2

2

．
（3）解：延長BD至E使DE=BD，連結AE、CE、B₁E，
則B₁E就是BN+B₁N的最小值，
以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則點E的坐標為(

3

 ， 1 ， 0)，
B₁的坐標是(-

3

 ， 2 ， 

3

)，
∴B1E=

(- 3 - 3 )2+(2-1)2+( 3 -0)2

=4．
∴BN+B₁N的最小值是4．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查兩條線段和的最小值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．