己知函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
，
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=
x2
2f(x)
．判定函數(shù)g（x）的奇偶性，并證明．
（Ⅰ）設(shè)x，x是R內(nèi)任意兩個(gè)值，且x1＜x2，則x2-x1＞0
y2-y1=f（x2）-f（x1）=
2x2-1
2x2+1
-
2x1-1
2x1+1

=
2•2x2-2•2x1
(2x1+1)(2x2+1) 
=
2(2x2-2x1) 
(2x1+1)(2x2+1) 

當(dāng)x1＜x2時(shí)，2x1＜2x2
∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0
∴y2-y1＞0
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（Ⅱ）：（1）∵2x=
1+y
1-y
，又2x＞0，
∴-1＜y＜1
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
（Ⅲ）由題意知g（x）=
x2
2
•
2x+1
2x-1

易知函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=
(-x)2
2
•
2-x+1
2-x-1
=
x2
2
•
1+2x
1-2x
=-
x2
2
•
2x+1
2x-1
=-g（x）
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知函數(shù)f(x)=Asin2(ωx+?)(A＞0，ω＞0，0＜?＜
π2
)，且y=f（x）最大值為2，其圖象過(guò)點(diǎn)（1，2）且相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）計(jì)算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象點(diǎn)的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P是M，N的中點(diǎn)．
（1）求證：y1+y2的定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*，n≥2)，an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
(n∈N*)，Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，當(dāng)Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立時(shí)，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設(shè)bn=
1
4(Sn+1+1)(Sn+2+1)+1
，Bn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，證明：Bn＜
17
52
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知函數(shù)f(x)=4sin2(
π
4
+x)-2
3
cos2x-1，且給定條件P：x＜
π
4
或x＞
π
2
，
（1）求￢P的條件下，求f（x）的最值；
（2）若條件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•眉山一模）己知函數(shù)f(x)=2-x2+ax+3
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若A={x|y=lg(5-x)}，函數(shù)f(x)=2-x2+ax+3在A內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知函數(shù)f(x)=
1
2
(1+x)2-ln(1+x)
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[
1
e
-1，e-1]時(shí)，f（x）＜m恒成立，求m的取值范圍；
（3）若設(shè)函數(shù)g(x)=
1
2
x2+
1
2
x+a，若g（x）的圖象與f（x）的圖象在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

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