（08年黃岡市模擬理） （12分）在五棱錐P―ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a, PB=PE=2a, BC=DE=a, ∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.

(1)求證：PA平面ABCDE;

(2)求二面角A―PD―C的大小;

(3)在線段BC上是否存在一點Q，使Q到平面PDE的距離為.

 

解析：（1）由PA⊥AE，PA⊥AB得PA⊥平面ABCD    ……4分

（2）過C作CM⊥AD，MN⊥PD于N，連CN，則∠CNM為二面角A―PD―C的一個平面角，……5分

CD＝，

,所求二面角的大小為……8分

（3）假設(shè)存在Q點，過Q作QF∥AB交AE于F，由ED∥AB得QF∥平面PDE，

由DE⊥平面PAE，所以平面PAE⊥平面PED，作FH⊥PE交PE于H，則FH⊥平

面PED，在Rt△EFH中，F(xiàn)H＝，∠FEH＝45°,所以FE＝,所以Q是

BC中點…………12分

解法二（2）建立如圖坐標系，設(shè)A(0,0,0),P(0,0,2a),D(a,2a,0),C(2a,a,0),

E(0,2a,0)，設(shè)平面PAD的法向量為,

所以，

同理平面PDC的法向量，

故所求二面角的大小為

（3）,，可求得平面PDE的法向量

設(shè)Q(2a,x,0)點Q到平面PED距離為d,

則＝得，由0<x<a得

即Q為BC中點

 

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