Question

7．己知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+x-$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）通過討論a的范圍，得到f（x）在[1，e]的單調(diào)性，求出[1，e]的最小值即可求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a+1}{x}$+1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$，
①a≥0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）遞增；
②a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞-a，令f′（x）＜0，解得：x＜-a，
∴f（x）在（0，-a）遞減，在（-a，+∞）遞增；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得：-a≤1即a≥-1時(shí)：f（x）在[1，e]遞增，
若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，
只需f（1）=1-a＜0即可，解得：a＞1；
②若1＜-a＜e即-e＜a＜-1時(shí)：
f（x）在[1，-a）遞減，在（-a，e]遞增，
若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，
只需f（-a）＜0即可，
即（a+1）ln（-a）+（-a）+1＜0，
即ln（-a）＞1-$\frac{2}{a+1}$，
而1＜-a＜e，則0＜ln（-a）＜1，1-$\frac{2}{a+1}$＞1，
∴l(xiāng)n（-a）＞1-$\frac{2}{a+1}$，無解；
③若-a≥e，即a≤-e時(shí)：f（x）在[1，e]遞減，
若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，
只需f（e）＜0即可，
即（a+1）+e-$\frac{a}{e}$＜0，解得：a＜-$\frac{e（e+1）}{e-1}$；
綜上：a＞1或a＜-$\frac{e（e+1）}{e-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．