設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）為橢圓數(shù)學(xué)公式上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，圓O的方程為x2+y2=a2．
（1）如圖，若向圓O內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在橢圓C的概率為數(shù)學(xué)公式，橢圓C上的動(dòng) 點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最近距離為數(shù)學(xué)公式．橢圓C的面積為πab．
（i）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ii）若點(diǎn)B（0，1）且數(shù)學(xué)公式，求直線OP的低斜率；
（2）若直線OP和OQ的斜率之積為數(shù)學(xué)公式，請(qǐng)?zhí)近c(diǎn)M（x1，x2）與圓O的位置關(guān)系，并說明理由．

解：（1）（i）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為．
（ii）由，得（-x2，1-y2）=（x1，y1），
∴，
結(jié)合圓的對(duì)稱性知點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱且PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
故直線PQ的方程為，從而得，
∴．
（2）由題意知直線OP的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx，
代入，整理，得①
由，用代替①中的k，得
，
∴=a2，
∴點(diǎn)M（x1，x2）在圓O：x2+y2=a2上．
分析：（1）（i）由已知得，又a2=b2+c2，由此能得到橢圓C的方程．
（ii）由，得（-x2，1-y2）=（x1，y1），所以，結(jié)合圓的對(duì)稱性知點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱且PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），由此能求出直線OP的斜率．
（2）設(shè)OP方程為y=kx，代入，得，由，得，所以=a2，由此知點(diǎn)M（x1，x2）在圓O：x2+y2=a2上．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
3
)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-
π
6
，0)對(duì)稱；②若a≥b＞-1，則
a
1+a
≥
b
1+b
；③存在實(shí)數(shù)x，使x3+x2+1=0；④設(shè)P（x1，y1）為圓O1：x2+y2=9上任意一點(diǎn)，圓O2：（x-a）2+（y-b）2=1，當(dāng)（x1-a）2+（y1-b）2=1時(shí)，兩圓相切．其中正確命題的序號(hào)是
 
．（把你認(rèn)為正確的都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P（x1，y1）為圓O1：x2+y2=9上任意一點(diǎn)，圓O2以Q（a，b）為圓心且半徑為1，當(dāng)（a-x1）2+（b-y1）2=1時(shí)，圓O1與圓O2的位置關(guān)系可能是
②③④
②③④
．（填上你認(rèn)為正確的序號(hào)）
①外離； ②外切；  ③相交；  ④內(nèi)切； ⑤內(nèi)含．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x2+x，(x≤1)
lnx，(x＞1)
，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)且x1＜1，x2＞1，若直線PQ是函數(shù)f（x）圖象的切線且P、Q都是切點(diǎn)，求證：3＜x2＜4；（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I⊆D，若函數(shù)g（x）在I上可導(dǎo)，對(duì)任意的x0∈I，g（x）的圖象在（x0，g（x0））處的切線為l，函數(shù)g（x）圖象上所有的點(diǎn)都在直線l上方或直線l上，則稱區(qū)間I為函數(shù)g（x）的“下線區(qū)間”．類比上面的定義，請(qǐng)你寫出函數(shù)“上線區(qū)間”的定義，并根據(jù)你所給的定義，判斷區(qū)間（-∞，
3
8
）是否是函數(shù)f（x）的“上線區(qū)間”（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2） 是拋物線C：y2=2px（p＞0）上相異兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0，直線PQ 與x 軸相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 軸的距離的積為4，求p的值；
（Ⅱ）若p為已知常數(shù)，在x 軸上，是否存在異于E 的一點(diǎn)F，使得直線PF 與拋物線的另一交點(diǎn)為R，而直線RQ 與x 軸相交于T，且有
TR
=3
TQ
，若存在，求出F 點(diǎn)的坐標(biāo)（用p 表示），若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，圓O的方程為x2+y2=a2．
（1）如圖，若向圓O內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在橢圓C的概率為
1
2
，橢圓C上的動(dòng) 點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最近距離為2-
3
．橢圓C的面積為πab．
（i）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ii）若點(diǎn)B（0，1）且
QB
=
OP
，求直線OP的低斜率；
（2）若直線OP和OQ的斜率之積為
b2
a2
，請(qǐng)?zhí)近c(diǎn)M（x1，x2）與圓O的位置關(guān)系，并說明理由．

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