Question

（2008•江蘇二模）如圖，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車場，PQ=5.2km．某旅游團(tuán)游覽完島嶼后，乘游船回停車場Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行駛，sinθ=

5

13

．游船離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽擱沒有來得及登上游船的游客甲為了及時(shí)趕到停車地點(diǎn)Q與旅游團(tuán)會合，立即決定租用小船先到達(dá)湖濱大道M處，然后乘出租汽車到點(diǎn)Q（設(shè)游客甲到達(dá)湖濱大道后能立即乘到出租車）．假設(shè)游客甲乘小船行駛的方位角是α，出租汽車的速度為66km/h．
（Ⅰ）設(shè)sinα=

4

5

，問小船的速度為多少km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q；
（Ⅱ）設(shè)小船速度為10km/h，請你替該游客設(shè)計(jì)小船行駛的方位角α，當(dāng)角α余弦值的大小是多少時(shí)，游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q．

Answer 1

分析：（I）作PN⊥AB，N為垂足，由sinθ=

5

13

．sinα=

4

5

，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的長，構(gòu)造方程可得滿足條件的船速
（II）當(dāng)小船行駛的方位角為α?xí)r，解三角形分別求出PM，MQ長，進(jìn)而求出時(shí)間t的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答：解：（Ⅰ） 如圖，作PN⊥AB，N為垂足．
sinθ=

5

13

，sinα=

4

5

，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×

5

13

=2（km），
QN=PQcosθ=5.2×

12

13

=4.8（km）．
在Rt△PNM中，MN=

PN

tanα

=

2

4 3

=1.5（km）．…（3分）
設(shè)游船從P到Q所用時(shí)間為t₁h，游客甲從P經(jīng)M到Q所用時(shí)間為t₂h，
小船的速度為v₁km/h，則t1=

PQ

13

=

26 5

13

=

2

5

（h），t2=

PM

v1

+

MQ

66

=

2.5

v1

+

3.3

66

=

5

2v1

+

1

20

（h）．  …（5分）
由已知得：t2+

1

20

=t1，

5

2v1

+

1

20

+

1

20

=

2

5

，
∴v1=

25

3

．…（7分）
∴小船的速度為

25

3

km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM=

PN

sinα

=

2

sinα

（km），
MN=

PN

tanα

=

2cosα

sinα

（km）．
∴QM=QN-MN=4.8-

2cosα

sinα

（km）．               …（9分）
∴t=

PM

10

+

QM

66

=

1

5sinα

+

4

55

-

cosα

33sinα

=

1

165

×

33-5cosα

sinα

+

4

55

．…（11分）
∵t′=

1

165

×

5sin2α-(33-5cosα)cosα

sin2α

=

5-33cosα

165sin2α

，…（13分）
∴令t'=0得：cosα=

5

33

．
當(dāng)cosα＜

5

33

時(shí)，t'＞0；當(dāng)cosα＞

5

33

時(shí)，t'＜0．
∵cosα在α∈(0，

π

2

)上是減函數(shù)，
∴當(dāng)方位角α滿足cosα=

5

33

時(shí)，t最小，
即游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q．…（15分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是解答本題的關(guān)鍵．