Question

（2007•奉賢區(qū)一模）已知復數：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），記f（x）=Re（z₁•z₂）
（1）試寫出f（x）關于x的函數解析式
（2）若函數f（x）是偶函數，求k的值
（3）求證：對任意實數m，由（2）所得函數y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象最多只有一個交點．

Answer 1

分析：（1）由z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi，求出z₁•z₂后，結合f（x）=Re（z₁•z₂），可得f（x）關于x的函數解析式
（2）根據函數f（x）是偶函數，根據偶函數的性質，構造關于k的方程，解方程可求出k的值
（3）由（2）中結論，聯立方程y=log₂（2^x+1）-

1

2

x和y=

1

2

x+m，即2^x•（2^m-1）=1，分別討論 m=0，m＜0，m＞0，三種情況下函數y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象交點個數，即可得到答案．

解答：解：（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi
∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）
=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i（2分）
f（x）=Re（z₁•z₂）=log₂（2^x+1）+kx（2分）
（2）設定義域R中任意實數，由函數f（x）是偶函數
得：f（-x）=f（x）（4分）
log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
2kx=log₂（

2-x-1

2x+1

）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-

1

2

（8分）
證明：（3）由（2）得：f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x
聯立方程：y=log₂（2^x+1）-

1

2

x和y=

1

2

x+m
得：log₂（2^x+1）-

1

2

x=

1

2

x+m （10分）
即m=log₂（2^x+1）-x
log₂（2^x+1）=x+m=log₂2^（x+m）
得：2^x+1=2^（x+m）
2^x•（2^m-1）=1（11分）
若 m=0   方程無解（12分）
若 m＜0，2^m-1＜0，2^x＜0方程無解（13分）
若m＞0  2^x=

1

2m-1

x=log₂

1

2m-1

方程有唯一解（14分）
對任意實數m，函數y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象的交點最多只有一個．（15分）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性的性質，函數解析式的求解方法，根的存在性及根的個數判斷，是復數與函數三要素，性質，圖象的綜合應用，難度較大．